אנחנו יודעים לחשֵׁב במדויק את המסלול של כדור הארץ סביב השמש. אנחנו גם יודעים לחשב את המסלול של הירח סביב כדור הארץ ואת מסלולם של לַווייני תקשורת, וגם את מסלוליהם של כוכבי לֶכת שרחוקים מאִתנו אלפֵי שנות אור סביב השְׁמָשוֹת שלהם ואת אלה של היְרֵחים שלהם סביבם. אנחנו יודעים לנבֵּא במדויק את תנועתם של כוכבים זוגיים, כלומר מערכת של שתי שמשות שחגוֹת זוֹ סביב זוֹ. אנחנו אפילו יכולים למצוא את המסה של חורים שחוֹרים על-מָסיביים שנמצאים במרכזי גָּלַקְסיוֹת על ידי חישוב מהירותם של כוכבים שקרובים אֲלֵיהם. לדוגמה, לפי החישוב הזה, במרכז הגלקסיה שלנו יש חור שחור על-מסיבי אֵימְתני שמסתו גדולה פי מילְיון ממסתה של השמש שלנו! על פי תנועתם המוזרה של כוכבים מרוחקים יותר, מדענים מנבּאים את קיומו של החומר החֲמַקמַק ביותר ביְקוּם: החומר האָפֵל. אנחנו יודעים היום דברים רבים כל כך על היקום העָצוּם והמִסתוֹרי שלנו, והבסיס לכל החישובים האלה הוא שלושה חוּקים פשוטים, שידועים לנו כבר 410 שנים – שלושת חוקי קפלר.

דרושה נוּסחה

יוהנס קפלר היה אַסטְרוֹנום ומתמטיקאי גֶּרמָני שחי במאות ה-17-16, לאחר שהגה קוֹפֶּרניקוּס את הרעיון המַהפְּכָני שהשמש נמצאת במרכז וכדור הארץ נע סביבהּ במסלול מעגלי במהירות קבועה, ואִתו גם שאר כוכבי הלכת. כאשר הִבּיט קפלר בעיוּן בתַּצפּיוֹת האסטרוֹנוֹמיוֹת הוא הִבחין במשהו מוזר: מסלולם של כוכבי הלכת לא היה מעגלי, והמהירות שלהם בכלל לא הייתה קבועה! קפלר הֵבין שכדי לתאר את תנועתם המדויקת של הכוכבים דרושה נוסחה מתמטית, והוא ישב לחפש כזו שתתאים לתצפיות. התוצאה הייתה שלושה חוקים שמתארים במדויק את תנועתם של כוכבי הלכת סביב השמש, והחוקים האלה נקראים – ניחשתם נכון – חוקי קפלר. אתם עומדים לנסות בעצמכם את שני החוקים הראשונים.

חוק האֵליפְּסָה

החוק הראשון של קפלר – חוק האֵליפְּסָה, מדבר על הצורה הגֵאוֹמֶטְרית של מסלול ההקפה. להפתעתם של כל האסטרונומים בזמנו, התצפיות הראו שכוכבי הלכת מַקיפים את השמש לא במסלול מעגלי, שנחשב אז הצורה הטִבעית ביותר, אלא באליפסה! אולי חשבתם תמיד שאליפסה היא מעגל מָעוּך, אבל האליפסה היא צורה מתמטית מוגדרת הֵיטב.

כדי להבין את ההגדרה של אליפסה נתחיל מההגדרה המתמטית של מעגל: נבחר נקודה אחת, למשל באמצע הדף; הנקודה הזאת נקראת מרכז המעגל. נבחר אורך מסוים, למשל עשרה סֶנטימֶטרים; האורך הזה נקרא רַדיוּס. אם נצייר המון נקודות צפוּפוֹת במרחק של עשרה סנטימטרים מנקודת המרכז, נקבל מעגל!

ההגדרה המתמטית של האליפסה מסובֶּכת קצת יותר: הפעם בוחרים שתי נקודות ואת המרחק ביניהן, למשל שתי נקודות במרחק שלושה סנטימטרים זוֹ מזוֹ. שתי הנקודות האלה נקראות "מוֹקְדים". מלבד זה, בוחרים אורך, שחייב להיות גדול לפחות פי שניים מהמרחק שבין שני המוקדים, למשל עשרה סנטימטרים. עכשיו נחפש נקודות שסכום המרחקים שלהן משני המוקדים שווה עשר. לדוגמה: נקודה שנמצאת במרחק שלושה סנטימטרים ממוקד אחד ושבעה סנטימטרים מהמוקד האחר או ארבעה סנטימטרים ממוקד אחד ושישה סנטימטרים מהאחר וכן הלאה. הבנתם את הרעיון. אם נצייר הרבה נקודות כאלה בצפיפות או שנעביר קו ביניהן, נקבל אליפסה. דרך אגב, גם מעגל הוא סוג של אליפסה: אליפסה שהמרחק בין המוקדים הוא אפס, ולכן שני המוקדים נמצאים בנקודה אחת – זהו מרכז המעגל.

קפלר טען שכוכבי הלכת מַקיפים את השמש במסלול בצורת אליפסה, והשמש נמצאת בדיוק באחד המוקדים.

חוקי קפלר – ניסוי 1 – חוק האֵליפְּסָה

צריכים את זה

לוח שַׁעם

שני נְעָצים

חוט או שְׂרוך

דף

כלִי כתיבה: עט, עיפרון או טוש

שלב ראשון – המעגל

מנסים את זה

1. מַניחים את הדף על לוח השעם, ונועצים נעץ אחד במרכז הדף.
2. קושרים את שני הקְצוות של השרוך ליצירת לוּלָאה סגורה.
3. מַשחילים את צִדהּ האחד של הלולאה על הנעץ, ומותחים את הלולאה בצדה האחר על ידי קצה הטוש. מוודאים שהשרוך מתוח כל הזמן ומשרטטים מעגל.

מסבירים את זה

מה קרה? הטוש סימן את כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה סביב הנעץ, וזוהי ההגדרה המתמטית של מעגל. הנעץ הוא מרכז המעגל, ואורך השרוך המתוּח (והמקוּפּל לשניים) הוא הרדיוס.

שלב שני – האליפסה

מנסים את זה

1. נועצים שני נעצים על הדף ומודדים את המרחק ביניהם.
2. מְכינים לולאה סגורה משרוך שאורכו יותר מפּי שניים מהמרחק בין הנעצים, מותחים את הלולאה בין שני הנעצים והטוש ובעצם יוצרים משולש. מוודאים שהשרוך מתוח כל הזמן ומשרטטים אליפסה.

מסבירים את זה

מה קרה? שני הנעצים הם מוקדי האליפסה. סימנו את כל הנקודות שהן קדקוֹד המשולשים שנוצרו בין שני הנעצים ובין הטוש. מה משותף לכל המשולשים האלה? אחת הצלעות שלהם היא המרחק שבין שני הנעצים. שתי הצלעות האחרות שוות לסכום המרחקים של הנקודות הצבועות משני המוקדים. הסכום של שתי הצלעות נשאר תמיד שווה, ולכן התקבלה אליפסה!

חוק השטחים השווים

הפתעה נוספת ציפתה לאסטרונומים: כוכבי הלכת אינם נעים כל הזמן באותה המהירות! איך זה יכול להיות? כבר הבנו שמסלול ההקפה אינו סימֶטרי: השמש נמצאת באחד המוקדים, ולא בדיוק במרכז האליפסה, וזה אומר שכוכב הלכת המַקיף אותה לעִתים קרוב אליה ולעתים רחוק ממנה.

עכשיו דמיינו קו שמחבר את כוכב הלכת והשמש. כשכוכב הלכת נע, הקו נע אִתו. עכשיו דמיינו שהקו עשוי מגיר ושהשמש וכוכב הלכת יושבים על לוח ענקי. כשהגיר העצום נע, הוא צובע את הלוח לכל אורכו וממלא שטח שנראה כמו משולש פיצה. החוק השני של קפלר הוא שאם נמדוד כמה זמן דרוש לכוכב הלכת לצבּוע משולש פיצה בגודל מסוים, נגלה שבכל מקום על האליפסה שטחים שווים בגודלם נצבּעים בדיוק באותו הזמן! איך זה יכול להיות? הרי כשכוכב הלכת נמצא קרוב לשמש משולש הפיצה קצר, וכאשר הכוכב רחוק מהשמש נקבל משולש פיצה ארוך! הדרך היחידה ששני משולשי הפיצה יהיו שווים בשטחם היא שמשולש הפיצה הקצר יהיה רחב יותר, כלומר הוא יתפרס על פני קשת ארוכה יותר באליפסה. ומה זה אומר לנו? אם כוכב הלכת עובר את הקשת הארוכה בדיוק באותו הזמן שהוא נע על פני הקשת הקצרה (של משולש הפיצה הארוך), ברור שאת הקשת הארוכה הוא עושה במהירות גדולה יותר, כלומר החוק השני של קפלר מראה כי ככל שכוכב הלכת קרוב יותר לשמש, כן מהירותו גדולה יותר!

לפני 410 שנה לא הייתה לקפלר שום דרך להבין את גודלו האמִתי של היקום, לדעת שיש עוד מאות מיליארדֵי גלקסיות ושבכל גלקסיה יש מאות מיליארדי שמשות. המוּפלא בחוקי קפלר הוא שהם נכונים עבור כל גֶּרם שמים שסובב סביב חברו ולכל מקום ברחבי היקום!

חוקי קפלר – ניסוי 2 – חוק השטחים השווים

צריכים את זה

שרטוט האליפסה מהניסוי הראשון

חבילת פּייטים או חרוּזים שטוּחים

טוש

סרגל

מנסים את זה

1. מסמנים את השמש באַחד המוקדים של האליפסה.
2. משרטטים משולש פיצה צר באֵזור הרחוק מהשמש.
3. ממלאים את שטח המשולש בפייטים צמודים וצפופים – שאינם עולים זה על זה!
4. עכשיו מעבירים את הפייטים שמילאו את השטח לצד האליפסה הקרוב לשמש ויוצרים משולש פיצה חדש. תוחמים את משולש הפיצה החדש בעזרת סרגל וטוש.

מסבירים את זה

מה קרה? לשני משולשי הפיצה ששרטטנו יש אותו שטח מכיוון שנכנסה בהם כמות שווה של פייטים. לזה הרחוק מהשמש יש קשת קצרה, ולקרוב יותר אליה – קשת ארוכה. לפי החוק השני של קפלר, כוכב לכת המַקיף את השמש על האליפסה עובר את הקשתות האלה בדיוק באותו הזמן! לכן ברור שבקשת הארוכה, הקרובה לשמש, הוא נע במהירות גדולה יותר.

מדגימה: דניאלה ואגון

צילומים: בת שבע וגון-גלמידי, מגזין גליליאו צעיר

הכתבה פורסמה בגיליון ינואר 2015 של גליליאו צעיר

רוצים לקרוא עוד? לקבלת מגזין גליליאו צעיר במתנה

בקרו בעמוד הפייסבוק של מגזין גליליאו צעיר